មើលកូដរបស់ អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា

[[ឯកសារ:Gamma_plot.svg|thumb|right|325px|{{កណ្តាល|អនុគមន៍ហ្គាំម៉ាតាមបណ្តោយផ្នែកនៃអ័ក្សពិត}}]]

ក្នុង[[គណិតវិទ្យា]] '''អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា''' (តាងដោយអក្សរធំក្រិច [[ហ្គាំម៉ា|'''Γ''']]) ជាបន្លាយនៃអនុគមន៍[[ហ្វាក់តូរ្យែល]]ចំពោះ[[ចំនួនពិត]] និង [[ចំនួនកុំផ្លិច]]។ ចំពោះចំនួនកុំផ្លិច z ដែលផ្នែកពិតជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន អនុគមន៍ហ្គាំម៉ាកំនត់ដោយ

:<math>\color{blue} \Gamma(z) = \int_0^\infty  t^{z-1} e^{-t}\,dt </math>

និយមន័យនេះអាចត្រូវបានគេពន្លាតចំពោះ[[ប្លង់កុំផ្លិច]] លើកលែងតែចំនួនគត់មិនវិជ្ជមាន។

ប្រសិនបើ n ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន នោះគេបាន
:<math> \Gamma(n) = (n-1)!\, </math>

ទំនាក់ទំនងនេះបង្ហាញថាអនុគមន៍ហ្គាំម៉ាជាប់ទាក់ទងទៅនឹងអនុគមន៍ហ្វាក់តូរ្យែល។ អនុគមន៍ហ្គាំម៉ាផ្សារភ្ជាប់ទៅនឹងអនុគមន៍ហ្វាក់តូរ្យែលចំពោះតំលៃ n ជា[[ចំនួនកុំផ្លិច]] និង មិនមែនជាចំនួនគត់។

អនុគមន៍ហ្គាំម៉ាជាសមាសភាពមួយនៅក្នុងអនុគមន៍របាយប្រូបាបផ្សេងៗ និង ត្រូវបានគេទៅអនុគមន៍ក្នុងវិស័យជាច្រើននៃ[[ប្រូបាប]] [[ស្ថិតិវិទ្យា]] ក៏ដូចជាក្នុង[[វិភាគបន្សំ]]ផងដែរ។
== និយមន័យ ==
[[ឯកសារ:Gamma abs.png|thumb|right|250px|[[តំលៃដាច់ខាត]](ម៉ូឌុល)នៃអនុគមន៍ហ្គាំម៉ាក្នុង[[ប្លង់កុំផ្លិច]]]] 
និមិត្តសញ្ញា <math>\ \Gamma (z)</math> ត្រូវបានកំនត់ដោយ [[អាដ្រៀន ម៉ារី ឡេហ្សង់]] (Adrien-Marie Legendre ) ។ ប្រសិនបើផ្នែកពិតនៃ[[ចំនួនកុំផ្លិច]] z ជាចំនួនវិជ្ជមាន (Re[z] > 0) នោះ[[អាំងតេក្រាល]]
:<math>\Gamma(z) = \int_0^\infty  t^{z-1} e^{-t}\,dt \,\!</math>

ទាល់ជាដាច់ខាត (converges absolutely) ។ ដោយប្រើ[[អាំងតេក្រាលដោយផ្នែក]] គេអាចបង្ហាញថា
:<math>\Gamma(z+1)=z \, \Gamma(z)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \,\!</math>

[[សមីការអនុគមន៍]]នេះសិក្សាជាទូទៅនូវទំនាក់ទំនង <math>\ n! = n(n-1)!</math> នៃអនុគមន៍ហ្វាក់តូរ្យែល។ យើងអាចវាយតំលៃដោយការវិភាគ <math>\Gamma (1) \,</math>:
:<math> \Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-t} dt = \lim_{k \rightarrow \infty} -e^{-t} |_0^k = -0 - (-1) = 1 </math>

ដាក់ទំនាក់ទំនងទាំងពីរនេះបញ្ចូលគ្នា គេបានករណីពិសេសនៃអនុគមន៍ហ្គាំម៉ា ចំពោះគ្រប់[[ចំនួនគត់ធម្មជាតិ]] n ៖
:<math>\Gamma(n+1) = n \, \Gamma(n) = \cdots = n! \, \Gamma(1) = n!\,</math>

== និយមន័យផ្សេងទៀត ==
និយមន័យផលគុណមិនកំនត់ចំពោះអនុគមន៍ហ្គាំម៉ា រៀងគ្នាតាមអឺលែរ និង វ៉េអែរស្ត្រាស (Weierstrass) គឺត្រឹមត្រូវចំពោះគ្រប់[[ចំនួនកុំផ្លិច]] z ដែលមិនមែនជាចំនួនមិនអវិជ្ជមាន:
:<math>\Gamma(z) = \lim_{n \to {+\infty}} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\cdots(z+n)}</math>

:<math>\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^{+\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}</math>

ដែល <math>\ \gamma</math> ជា[[ថេរអឺលែរ-ម៉ាសឆេរ៉ូនី]] (Euler-Mascheroni constant)

គេអាចបង្ហាញដោយចំៗថានិយមន័យអឺលែរផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការ (1) ខាងលើ ។ អោយ z មិនស្មើនឹង  0, -1, -2, ...
:<math>
\begin{align}
\Gamma(z+1) &= \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^{z+1}}{(z+1) \; (z+2)\cdots(z+1+n)} \\
&= \lim_{n \to \infty} \left( z \; \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1) \; (z+2)\cdots(z+n)} \; \frac{n}{(z+1+n)}\right) \\
&= z \; \Gamma(z) \; \lim_{n \to \infty} \frac{n}{(z+1+n)} \\
&= z \; \Gamma(z) \\
\end{align}
</math>

វិធីផ្សេងទៀតវាអាចត្រូវបានគែបង្ហាញថា...

:<math>
\Gamma(z+1) = \int_0^\infty  e^{-t^{1/z}}\,dt \,\!
</math>

== ការទាញរកទំនាក់ទំនងជាមួយហ្វាក់តូរ្យែលដោយប្រើអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក ==
វាជាការងាយក្នុងការរក <math>\ \Gamma(1)</math>
:<math>\Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-x} x ^{1-1}  dx = \int_0^\infty e^{-x}  dx = -e^{-\infty} - (-e^0) = 0 - (-1) = 1 </math>

បន្ទាប់មកយើងទាញរកកន្សោម <math>\ \Gamma(n + 1)</math> ជាអនុគមន៍នៃ <math>\ \Gamma(n)</math>:
:<math>\Gamma(n + 1) = \int_0^\infty e^{-x} x ^{n + 1 - 1}  dx  =  \int_0^\infty e^{-x} x ^n  dx</math>

ដើម្បីដោះស្រាយ[[អាំងតេក្រាល]]នេះ យើងប្រើ[[អាំងតេក្រាលដោយផ្នែក]]
:<math>\int_0^\infty e^{-x} x ^n  dx  = \left[\frac{-x^n}{e^x}\right]_0^\infty + n \int_0^\infty e^{-x} x ^{n - 1}  dx</math>

យើងឃើញថា <math>\frac{-0^n}{e^0} = \frac{0}{1} = 0</math> ។

តាម[[ច្បាប់ឡួពីតាល់]] (L'Hôpital's rule) យើងបាន
:<math>\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-x^n}{e^x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-n! \cdot x^0}{e^x} = 0</math>

ហេតុនេះតួទី១ <math>\left[\frac{-x^n}{e^x}\right]_0^\infty </math> មាន[[លីមីត]]ស្មើនឹង ០ ។ គេបាន

:<math>\Gamma(n + 1) = n \int_0^\infty e^{-x} x ^{n - 1}  dx</math>

អង្គខាងស្តាំនៃសមីការនេះមានតំលៃ <math>\ n \Gamma(n)</math> ។ យើងទទួលបានទំនាក់ទំនង
:<math>\Gamma(n + 1) = n \Gamma(n) </math>

ដោយប្រើរូបមន្ត យើងទាញបាន
:<math>\Gamma(2) = \Gamma(1 + 1) = 1\Gamma(1) = 1!\,</math>

:<math>\Gamma(3) = \Gamma(2 + 1) = 2\Gamma(2) = 2 \cdot 1! = 2! = 2\,</math>

:<math>\Gamma(4) = \Gamma(3 + 1) = 3\Gamma(3) = 3 \cdot 2! = 3! = 6\,</math>

:<math>\Gamma(n + 1) = n\Gamma(n) = n\cdot(n-1)! = n!</math>

== តំលៃពិសេស ==
ខាងក្រោមនេះជាតំលៃពិសេសមួយចំនួននៃអនុគមន៍ហ្គាំម៉ា និង [[ដេរីវេ]]របស់វា តំលៃនៃ <math>\Gamma(1/2)</math> អាចអោយគេទាញបានរូបមន្តរកតំលៃពិសេសផ្សេងទៀត។
:<math>\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin \pi z}</math>

ចំពោះ <math>z=\frac{1}{2} \,</math> គេទាញបាន:

:<math>\Gamma(1/2) = \sqrt { \pi }</math>

តាមរយៈតំលៃនេះគេអាចកំនត់បានតំលៃពិសេសផ្សេងទៀត
:{|
|-
| <math>\Gamma(-3/2)= \frac {4\sqrt{\pi}} {3} </math>
|-
| <math>\Gamma(-1/2)= -2\sqrt{\pi}</math>
|-
| <math>\Gamma(1/2)= \sqrt{\pi}</math>
|-
| <math>\Gamma(1)=0!=1 \,</math>
|-
| <math>\Gamma(3/2)= \frac {\sqrt{\pi}} {2} </math>
|-
| <math>\Gamma(2)=1!=1 \,</math>
|-
| <math>\Gamma(5/2)=\frac {3 \sqrt{\pi}} {4} </math>
|-
| <math>\Gamma(3)=2!=2 \,</math>
|-
| <math>\Gamma(7/2)= \frac {15\sqrt{\pi}} {8} </math>
|-
| <math>\Gamma(4)=3!=6 \,</math>
|-
|និងក្នុងករណីទូទៅ:
|-
| <math>\Gamma \left(n+\frac{1}{2}\right)= \left(n-\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(n-\frac{1}{2}\right)=\left(n-\frac{1}{2}\right)\left(n-\frac{3}{2}\right)\cdots\frac{3}{2}\, \frac{1}{2}\,\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{(2n)!}{2^{2n}n!} \sqrt{\pi}</math>
|-
| ទំនាក់ទំនងរវាងដេរីវេ និង <math>\gamma</math> ថេរអឺលែរ-ម៉ាសឆេរ៉ូនី:
|-
| <math>\Gamma'(1/2)=-\sqrt{\pi}(\gamma+2\,\ln(2))</math>
|-
| <math>\Gamma'(1)=-\gamma\,</math>
|-
| <math>\Gamma'(2)=1-\gamma\,</math>
|-
| <math>\Gamma''(1/2)=\sqrt{\pi}(\gamma+2\,\ln(2))^{2}+\frac{\pi^{5/2}}{2}</math>
|-
| <math>\Gamma''(1)=\gamma^{2}+\frac{\pi^{2}}{6}</math>
|-
| <math>\Gamma''(2)=(1-\gamma)^{2}+\frac{\pi^{2}}{6}-1</math>
|}

[[ចំណាត់ថ្នាក់ក្រុម:អនុគមន៍|ហ្គាំម៉ា]]